Determinar a área lateral do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm .

resposta:

A área lateral de um prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das suas três faces laterais.

Resolução:
$A_{face} = 5 \centerdot 10 = 50 \;cm^2 \;\;\;\Rightarrow$
$A_{lat} = 3 \centerdot A_f = 3 \centerdot 50 = 150\;cm^2$
Resposta:

$A_{lat} = 150\;cm^2$
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Determinar a área total e o volume do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm.

resposta:

A área total da um prisma é igual à soma da área de todas as faces laterais com a área da base superior e a área da base inferior.

Resolução:

Área total = $A_{tot} = A_{lateral} + 2 \centerdot A_{base} \;\;\Rightarrow$

$\;A_{lateral} = 3 \centerdot A_{face} = 3 \centerdot 5 \centerdot 10 = 150\; cm^2 \;\;$

$A_{base} = A_{\triangle} = \dfrac{\;b \centerdot h\;}{2} = \dfrac{\;\ell ^2 \sqrt{3}\;}{4} =$ $ \dfrac{\;5^2 \sqrt{3}\;}{4} = \dfrac{\;25\;}{4} \sqrt{3}\; cm^2$

$A_{total} = 150 + 2\dfrac{\;25\;}{4}\sqrt{3}\;\Rightarrow$

$A_{total} = \dfrac{\;25 \centerdot (12 + \sqrt{\;3\;})\;}{2} \; cm^2$

O volume de um prisma é a sua altura multiplicada pela área da base. Lembremos que, sendo um prisma, a base inferior e superior são congruentes.

Volume = $A_{base} \centerdot altura \;\;\Rightarrow \;\; V = A_{base} \centerdot H$

$\;V = \dfrac{25}{4}\sqrt{3} \centerdot 10 \;\;\Rightarrow$ $\;V = \dfrac{125 \centerdot \sqrt{3}}{2}\;cm^3$

Resposta:

$A_{total} = \dfrac{25 \centerdot (12 + \sqrt{3})}{2} \; cm^2\phantom{X}$ $V_{olume} = \dfrac{125 \centerdot \sqrt{3}}{2}\;cm^3$
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O apótema da base de um prisma triangular regular mede $\;5\;cm\;$ e a área lateral mede $\;100\;cm^2\;$. Calcular a altura do sólido.

resposta:

ilustração prisma triangular reto e apótema

Resolução:
1. a base é um triângulo equilátero, então:

$ \; h = \; $ altura do triângulo da base

$\;a =\; $ apótema

$\; h = 3a\;\;\;\;$ e $\;\;\;h =\frac{\ell \sqrt{3}}{2}\;$ $\;\Rightarrow \;\;3a = \frac{\ell \sqrt{3}}{2} \;\;\Rightarrow \;$ $\; 3 \centerdot 5 \; = \; \frac{\ell \sqrt{3}}{2}\;\; \Longleftrightarrow \;$ $\;\ell \; = \; \frac{30}{\sqrt{3}}\;\; \Longleftrightarrow \;$ $\; \ell \;=\;10\sqrt{3}\;cm$

2. Área lateral = $\;A_{lateral} \;=\; 3 \centerdot A_{face} \;\; \Rightarrow \;\; A_{face} \;=\; \frac{100}{3} cm^2$

Sendo $\;A_{face} \;=\; \ell \centerdot H \;$ temos que

$\; \frac{100}{3}\;=\;10 \centerdot \sqrt{3} \centerdot H \;\; \Rightarrow \;\; H \; = \frac{10}{3 \sqrt{3}}$

Resposta:

$\;H\;=\;\frac{10\sqrt{3}}{9} \; cm$
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Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².

resposta:

Considerações:

Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).

$\phantom{XX}\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large b} \longrightarrow & \\ h\;\longrightarrow\; & \\ A_{\mbox{base}} \longrightarrow & \\ \end{array} \right.\,$

aresta da base
altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$
área da base, o triângulo equilátero

Resolução:
1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$
A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).

$\;A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 \centerdot a_{\large b} \centerdot h \;\;\Longrightarrow \;\; A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 (a_{\large b}) ^2\;\;$ então $\;\;\left(a_{\large b}\right)^2 \;=\; \dfrac{10}{3}$

2. Área da base:
(área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)

Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$

3. Área total:
$A_{\mbox{total}} \;=\;A_{\mbox{lateral}}\,+\,2\centerdot A_{\mbox{base}} \;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{total}}\;=\; 10\,+\,2 \centerdot \dfrac{10\sqrt{3}}{12}$

$\;\boxed{\;A_{total}\; = \;10(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6})\;m^2\;}\;$

(ITA - 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triangulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo de lados 3 cm , 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm³ é:

$\,\dfrac{\sqrt{2}}{3}x^{\large 3}\,$

$\,2\dfrac{\sqrt{2}}{5}x^{\large 3}\,$

$\,3\dfrac{\sqrt{3}}{10}x^{\large 3}\,$

$\,\dfrac{\sqrt{3}}{10}x^{\large 3}\,$

n.d.a

resposta: (C)
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(ITA - 1986) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s , s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$ podemos afirmar que a área lateral do prisma vale

$\;144\,cm^2\;$

$\;12\,\pi\,cm^2\;$

$\;\dfrac{\pi}{5}\;$ da área lateral do cilindro

$\;24\,cm^2\;$

$\;\dfrac{5}{3}\;$ da área lateral do cilindro

resposta:

Considerações:

Eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das bases do cilindro.
Secção meridiana de um cilindro é a secção gerada por um plano que contém o eixo do cilindro.
Um cilindro é chamado reto quando o seu eixo é perpendicular aos planos das bases.
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.

A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.

prisma triangular regular com cilindro equilátero inscrito

Resolução:

1. Observando atentamente a figura, temos:

$\;A_{\mbox{base}}\;$
=
área da base do prisma triangular

$\;V_C\;$ 
=
o volume do cilindro
$\;\rightarrow\;V_C\;=\;\pi\centerdot R^{\large 2}\;=\;\pi\centerdot(3)^{\large 2}$

$\;V_P\;$ 
=
 o volume do prisma triangular
$\;\rightarrow\;V_P\;=\,A_{\mbox{base}}\centerdot h\;=\;A_{\mbox{base}}\centerdot 6\;$

A razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$.
$\;\dfrac{V_C}{V_P}\,=\,\dfrac{\pi}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{\pi\centerdot 3^{\large 2}\centerdot 6}{6 \centerdot A_{\mbox{base}}}\;\Leftrightarrow\;A_{\mbox{base}}\,=\,36$

A base do cilindro é um círculo inscrito na base triangular do prisma. Então o centro do círculo é o incentro da base triangular.

A área de um triângulo é igual ao seu semiperímetro multiplicado pelo raio da circunferência inscrita

Perímetro da base 
=
$\;p\;=\,(a\,-\,s)\,+\,a\,+\,(a\,+\,s)\;=\;3\centerdot a$

Semiperímetro da base  
=
$\;\dfrac{p}{2}\;=\;\dfrac{3\centerdot a}{2}$

$\;A_{\mbox{base}}\; =\;$ semiperímetro $\times$ R 
=
 $\;\dfrac{3\centerdot a \centerdot 3}{2}\; =\;36\;\Rightarrow$ $\;a\;=\;8\;$

A área lateral do prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das três faces retangulares laterais:
A_lateral = $\,6(a\,-\,s)\,+\,6(a)\,+\,6(a\,+\,s)\,$ $\,=\,6(a - s + a + a - s)\,=\,6(3a)\,=\,6\centerdot 3\centerdot 8\,= 144\;cm^2\;$

Alternativa A
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Um prisma triangular regular tem as arestas da base medindo 5 cm e aresta lateral igual a 7 cm . Calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume.

resposta: $\phantom{X}A_{base}\,=\,\frac{25\sqrt{\,3\,}}{4}\;$ cm² $\phantom{X}A_{lateral}\,=\,105\;$ cm² $\phantom{X}A_{t}\,=\,\frac{5(42+5\sqrt{\,2\,}}{2}\;$ cm²$\phantom{X}V\,=\,\frac{175\sqrt{\,3\,}}{2}\;$ cm³
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